Question

6．设a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，n∈N^*，求证：a_n＜$\sqrt{2}$+$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 根据递推公式和基本不等式求出a_n+1的范围，运用数学归纳法证明：先证n=1、2成立，再假设n=k成立，利用放缩法和作差法证明n=k+1也成立．

解答 证明：∵a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，n∈N^*，
∴a_n＞0，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥$2\sqrt{\frac{{a}_{n}}{2}×\frac{1}{{a}_{n}}}$=$\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{{a}_{n}}{2}=\frac{1}{{a}_{n}}$，即${a}_{n}=\sqrt{2}$时取等号，
①当n=1时，a₁=2＜$\sqrt{2}+\frac{1}{1}$=$\sqrt{2}$+1，
当n=2时，a₂=1+$\frac{1}{2}$＜$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$，
②假设当n=k（k≥3）时，$\sqrt{2}≤$a_k＜$\sqrt{2}+\frac{1}{k}$，则$\frac{1}{{a}_{k}}≤\frac{1}{\sqrt{2}}$，
那么当n=k+1时，${a}_{k+1}=\frac{{a}_{k}}{2}+\frac{1}{{a}_{k}}$＜$\frac{1}{2}（\sqrt{2}+\frac{1}{k}）+\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2k}$，
∵$\frac{1}{2k}-\frac{1}{k+1}=\frac{k+1-2k}{2k（k+1）}$=$\frac{1-k}{2k（k+1）}$＜0，∴$\frac{1}{2k}＜\frac{1}{k+1}$，
∴$\sqrt{2}+\frac{1}{2k}$＜$\sqrt{2}+\frac{1}{k+1}$，
则当n=k+1时，a_n＜$\sqrt{2}$+$\frac{1}{n}$成立，
故对任意n∈N^*，有a_n＜$\sqrt{2}$+$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查数学归纳法证明数列有关的不等式的应用，基本不等式，以及放缩法和作差法的应用，考查化简变形能力、分析、解决问题的能力，属于难题．