Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2+bx，a，b∈R．
（1）曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下试求函数g(x)=m[f(x)-

7

3

x](m∈R，m≠0)的极小值；
（3）若f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，求证：0＜a+b＜2．

Answer 1

分析：（1）曲线在P（1，2）处的切线与y=2x+1平行等价于函数在该点的导数为2，f（1）=2，代入可求a，b
（2）由（1）知g(x)=

m

3

(x3-2x2)，g′（x）=mx（x-

4

3

），分类讨论：分m＞0时，m＜0时两种情况讨论，g（x）的单调性，进而可求g（x）的极小值
（3）由题意可得f′（x）=0即x²+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根，根据二次方程的实根分布可求

解答：（1）解：对函数求导可得，f′（x）=x²+2ax+b，
由题设知：

f(1)= 1 3 +a+b=2  f′(1)=1+2a+b=2

解得

a=- 2 3  b= 7 3 .

（4分）
（2）解：由（1）知g(x)=

m

3

(x3-2x2)，g′（x）=mx（x-

4

3

），
当m＞0时，g（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上递增，在（0，

4

3

）上递减，
所以g（x）的极小值为g（

4

3

）=-

32

81

m；
当m＜0时，g（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上递减，在（0，

4

3

）上递增，
所以g（x）的极小值为g（0）=0；（8分）
（3）证明：因为f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以f′（x）=0，即x²+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根．
∴

f′(1)=1+2a+b＞0，(1) f′(2)=4+4a+b＞0，  (2) 1＜-a＜2，(3) △=4(a2-b)＞0. (4)

（11分）
由 （1）+（3）得a+b＞0，由（4）得a+b＜a²+a，
∴-2＜a＜-1，又a2+a=(a+

1

2

)2-

1

4

＜2，
∴a+b＜2．
故a+b的取值范围是（0，2）（14分）

点评：本题考查函数的极值与导数之间的关系，考查函数有极值的条件，考查学生的转化与化归思想．