Question

已知点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足

PA

•

PB

=y2-8；
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹方程与直线y=x+2交于C、D两点；求证OC⊥OD（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（1）由

PA

=(-x，-2-y)，

PB

=(-x，4-y)，代入

PA

•

PB

=y2-8可求
（2）联立

y=x+2 x2=2y

，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，由y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4，代入到

OC

•

OD

=x₁x₂+y₁y₂可证OC⊥OD

解答：解：（1）∵A（0，-2），B（0，4），P（x，y）
∴

PA

=(-x，-2-y)，

PB

=(-x，4-y)
∵

PA

•

PB

=y2-8
∴-x（-x）+（4-y）（-2-y）=y²-8
整理可得，x²=2y
（2）联立

y=x+2 x2=2y

可得x²-2x-4=0
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，x₁x₂=-4，
∴y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=4
∵

OC

•

OD

=x₁x₂+y₁y₂=0
∴OC⊥OD

点评：本题主要考查了利用向量的数量积的坐标表示求解点的轨迹方程，直线与抛物线相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，主要考查了计算的能力．