Question

对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数．在方向向右的实数轴上[x]是在点x左侧的第一个整点，当x是整数时[x]就是x．函数f（x）=[x]叫做“高斯函数或取整函数”．那么[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃2013]=

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质,函数的值

专题：规律型

分析：根据题意，得出3^k≤n＜3^k+1（k，n∈N₊）时，k≤log₃n＜k+1，[log₃n]=k；依次归纳、计算所给的算式即可．

解答： 解：根据题意，得；
当3^k≤n＜3^k+1（k，n∈N₊）时，有k≤log₃n＜k+1，[log₃n]=k；
∴[log₃1]+[log₃2]=0，
[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃8]=1×（3²-3），
[log₃9]+[log₃10]+…+[log₃26]=2×（3³-3²），
[log₃27]+[log₃28]+…+[log₃80]=3×（3⁴-3³），
…，
[log₃729]+[log₃730]+…+[log₃2013]=6×（2014-3⁶）；
∴[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃2013]
=6×2014-（3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶）
=10992．
故答案为：10992．

点评：本题考查了探究、规律性的计算问题，解题的关键是根据题意，得出计算规律是什么．