Question

如图，A，B是焦点为F的抛物线y²=4x上的两动点，线段AB的中点M在定直线x=t（t＞0）上．
（Ⅰ）求|FA|+|FB|的值；
（Ⅱ）求|AB|的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）y²=4x的焦点坐标是F（1，0），准线方程是x=-1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
∴|FA|+|FB|=x₁+x₂+2
∵线段AB的中点M在定直线x=t （t＞0）上
∴x₁+x₂+=2t，
∴|FA|+|FB|=2t+2；
（Ⅱ）∵|AF|+|BF|≥|AB|，当A，F，B三点成一线时取“=”
∴|AB|的最大值是2t+2．
分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义及线段AB的中点M在定直线x=t （t＞0）上，可求|FA|+|FB|的值；
（Ⅱ）利用|AF|+|BF|≥|AB|，当A，F，B三点成一线时取“=”，可得结论．
点评：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力