Question

（本题满分8分．老教材试题第1小题4分，第2小题4分；新教材试题第1小题3分，第2小题5分．）

（老教材） 设a为实数，方程2x2-8x+a+1=0的一个虚根的模是 5 ． （1）求a的值； （2）在复数范围内求方程的解．

（新教材） 设函数f（x）=2x+p，（p为常数且p∈R） （1）若f（3）=5，求f（x）的解析式； （2）在满足（1）的条件下，解方程：f-1（x）=2+log2x2．

Answer 1

（老教材）（1）设方程2x²-8x+a+1=0的两个虚根为z₁，z₂
由于该方程为实系数方程，所以方程两根必为共轭虚根，即z1=

.

z2

又|z1|2=z1•

.

z1

=z1•z2=

a+1

2

=5?a=9．
（2）由（1）得方程2x²-8x+10=0，即x²-4x+5=0
解得z₁=2+i，z₂=2-i．
（新教材）（1）据题意f（3）=5代入f（x）=2^x+p，得2³+p=5?p=-3，所以f（x）=2^x-3．
（2）由2^x=y+3，得x=log₂（y+3）
所以f^-1（x）=log₂（x+3），x∈（-3，0）∪（0，+∞）．
故方程即为log₂（x+3）=2+log₂x²，?log₂（x+3）=log₂（4x²）?4x²-x-3=0，解得x=1，x=-

3

4

．
由于，经检验x1=1，x2=-

3

4

都为原方程的根．