Question

【题目】杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为1的项，依次构成数列，2，3，3，4，6，4，5 ，10 ，10，5，……，则此数列的前119项的和为__________．(参考数据：，，)

Answer 1

【答案】131022

【解析】

分析“杨辉三角形”的性质，每一行的数字和为首项为1，公比为2的等比数列，除去1之后各行的项的个数为首项为1，公差为1的等差数列，其中所求数列的前119项可以视为，杨辉三角形中前17行中除去1和第17行的最后一个数之外的项之和，分别计算即可.

n次二项系数对应杨辉三角的第n+1行，例如，系数分别为1,2,1,对应杨辉三角的第三行，令x=1,就可以求出该行的系数之和，

第1行为，第2行为，第3行为，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为，

若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则前n项和，

可得当n=14，再加上第15行的前14项时，所有项的个数和为119，

由于最右侧为2,3,4,5，……，为一个首项为2，公差为1的等差数列，则第15行的第15项为16，

则杨辉三角的前17项和为，且前17行中有个1，

故此数列的前119项的和为.

故答案为：131022