Question

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosα，1-sinα），$\overrightarrow{n}$=（-cosα，sinα）（α∈R）．
（1）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，求角α的值；
（2）若|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，解得即可得出；
（2）由于$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$（2cosα，1-2sinα），可得|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{5-4sinα}$=$\sqrt{3}$，化简再利用倍角公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-cos²α+（1-sinα）sinα=sinα-1=0，解得sinα=1．
∴α=$2kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z）．
（2）∵$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$（2cosα，1-2sinα），
∴|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{4co{s}^{2}α+（1-2sinα）^{2}}$=$\sqrt{5-4sinα}$=$\sqrt{3}$，
∴sin$α=\frac{1}{2}$．
∴cos2α=1-2sin²α=1-$2×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．