Question

如图，在多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h。

（1）求侧面ABB₁A₁与底面ABCD所成二面角正切值；
（2）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V_估=S_中截面·h来计算，已知它的体积公式是 （S_上底面+4S_中截面+S_下底面），试判断V_估与V的大小关系，并加以证明。

Answer 1

解：（1）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°， ∴AB⊥PQ，AB⊥B1P ∴∠B1PG为所求二面角的平面角 过C1作C1H⊥PQ，垂足为H 由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形 ，又 ∴， 即所求二面角的正切值为。
（2）V估＜V 证明： ∵a＞c，b＞d， ∴   ∴V估＜V。