Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，M, N分别为PA, BC的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；

（Ⅱ）求MN与平面PAC所成角的正切值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）取PD的中点E，连接ME, CE．

∵M, N分别为PA, BC的中点，

∴，，∴，

∴MNCE是平行四边形，∴MN∥CE，……………2分

∵CEÍ平面PCD，MNË平面PCD，

∴MN∥平面PCD．…………………………………2分

（Ⅱ）作NF⊥AC于F，连接MF．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥NF，又∵PA∩AC＝A，

∴NF⊥平面PAC，∴∠FMN是MN与平面PAC所成的角．………2分

在Rt△MFN中，，，，∴，

∴．

 

 

【解析】略