Question

【题目】已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： + =1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2， ）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．
（1）求椭圆G的方程；
（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若 ⊥ ，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a．由|PF1|﹣|PF2|=a．

∴丨PF1丨= a=3|PF2|，

则 =3 ，化简得：c2﹣5c+6=0，

由c＜a＜3，

∴c=2，

则丨PF1丨=3 = a，则a=2 ，

b2=a2﹣c2=4，

∴椭圆的标准方程为： ；

（2）解：由题意可知，直线l不过原点，设A（x1，x2），B（x2，y2），

①当直线l⊥x轴，直线l的方程x=m，（m≠0），且﹣2 ＜m＜2 ，

则x1=m，y1= ，x2=m，y2=﹣ ，

由 ⊥ ，

∴x1x2+y1y2=0，即m2﹣（4﹣ ）=0，

解得：m=± ，

故直线l的方程为x=± ，

∴原点O到直线l的距离d= ，

②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+n，

则 ，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

则y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2= ，

由 ⊥ ，

∴x1x2+y1y2=0，故 + =0，

整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①

则原点O到直线l的距离d= ，

∴d2=（ ）2= = ，②

将①代入②，则d2= = ，

∴d= ，

综上可知：点O到直线l的距离为定值 ．

【解析】（1）根据椭圆的定义，求得丨PF1丨= a=3|PF2|，根据点到直线的距离公式，即可求得c的值，则求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得椭圆方程；（2）当直线l⊥x轴，将直线x=m代入椭圆方程，求得A和B点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得O到直线l的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O到直线l的距离为定值．