Question

4．已知不等式x²+ax+1＞0，
（1）解此关于x的不等式；
（2）若此不等式对任意x＞0恒成立，试求实数a的取值集合；
（3）若此不等式对任意a＜1恒成立，试求实数x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）△=a²-4，分类讨论，解此关于x的不等式；
（2）分离参数，求最值，可得结论；
（3）若此不等式对任意a＜1恒成立，转换参数，即可求实数x的取值集合．

解答 解：（1）△=a²-4，
①若a＞2或a＜2，△＞0，
令x²+ax+1=0，
解得：x=$\frac{-a±\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
故不等式x²+ax+1＞0的解集是：
{x|x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，或x＜$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$}；
②若a=±2，则△=0，
故不等式x²+ax+1＞0的解集是：
{x|x≠±$\frac{a}{2}$}；
③若-2＜a＜2，则△＜0，
不等式的解集是R；
（2）由x²+ax+1＞0对任意x＞0恒成立得a＞-（x+$\frac{1}{x}$），∴a＞-2，即实数a的取值集合是{a|a＞-2}；
（3）f（a）=ax+1+x²，
∵此不等式x²+ax+1＞0对任意a＜1恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{{x}^{2}+x+1＞0}\end{array}\right.$，∴x≤0，即实数x的取值集合是{x|x≤0}．

点评 本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．