Question

在（1-x³）（1+x）¹⁰展开式中，x⁵的系数是

207

．

Answer 1

分析：先将多项式展开，分析可得（1-x³）（1+x）¹⁰展开式中的x⁵的系数是（1+x）¹⁰的展开式中的x⁵的系数减去（1+x）¹⁰的x²的系数，利用二项式定理可得（1+x）¹⁰展开式的含x⁵的系数与含x²的系数，相减可得答案．

解答：解：∵（1-x³）（1+x）¹⁰=（1+x）¹⁰-x³（1+x）¹⁰，
则（1-x³）（1+x）¹⁰展开式中的x⁵的系数是（1+x）¹⁰的展开式中的x⁵的系数减去（1+x）¹⁰的x²的系数，
由二项式定理，（1+x）¹⁰的展开式的通项为T_r+1=C₁₀^rx^r，
令r=5，得（1+x）¹⁰展开式的含x⁵的系数为C₁₀⁵，
令r=2，得其展开式的含x²的系数为C₁₀² ，
则x⁵的系数是C₁₀⁵-C₁₀²=252-45=207，
故答案为 207．

点评：本题考查利用二项展开式定理解决二项展开式的特定项问题，解题的关键在于多项式的展开、整理变形，属于中档题．