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    已知数列{an}满足a1=
    7
    6
    ，Sn是{an}的前n项和，点（2Sn+an，Sn+1）在f（x）=
    1
    2
    x+
    1
    3
    的图象上，数列{bn}中，b1=1，且
    bn+1
    bn
    =
    n
    n+1
     （n∈N*）．
    （1）证明数列{an-
    2
    3
    }是等比数列；
    （2）分别求数列{an}和{bn}的通项公式an和bn；
    （3）若cn=
    an-
    2
    3
    bn
    ，Tn为数列{cn}的前n项和，n∈N*，求Tn并比较Tn与1的大小（只需写出结果，不要求证明）．
    分析：（1）由点（2Sn+an，Sn+1）在f（x）=
    1
    2
    x+
    1
    3
    的图象上，知Sn+1-Sn=
    1
    2
    an+
    1
    3
    ，故an+1=
    1
    2
    an+
    1
    3
    ，由此能够证明数列{an-
    2
    3
    }是等比数列．
    （2）由an-
    2
    3
    =(a1-
    2
    3
    )(
    1
    2
    )n-1    ，得an=
    2
    3
    +(
    1
    2
    )    n    ，由
    bn+1
    bn
    =
    n
    n+1
    ，知
    b2
    b1
    =
    1
    2
    ，
    b3
    b2
    =
    2
    3
    ，
    b4
    b3
    =
    3
    4
    ．由此能求出数列{an}和{bn}的通项公式an和bn．
    （3）cn=
    an-
    2
    3
    bn
    =
    (
    1
    2
    )    n
    1
    n
    =n•(
    1
    2
    )    n    ，Tn=1×
    1
    2
    +2×(
    1
    2
    )    2    +…+n×(
    1
    2
    )    n    ，由错位相减法求得Tn=2-
    2+n
    2n
    ，由此能够比较比较Tn与1的大小．
    解答：解：（1）∵点（2Sn+an，Sn+1）在f（x）=
    1
    2
    x+
    1
    3
    的图象上
    ∴Sn+1=
    1
    2
    (2Sn+an)+
    1
    3
    ，
    即Sn+1-Sn=
    1
    2
    an+
    1
    3
    ，
    an+1=
    1
    2
    an+
    1
    3
    ，
    即an+1-
    2
    3
    =
    1
    2
    (an-
    2
    3
    )    ，
    ∴a1-
    2
    3
    =
    1
    2
    ≠0    ，
    ∴数列{an-
    2
    3
    }是等比数列．
    （2）由（1）知，an-
    2
    3
    =(a1-
    2
    3
    )(
    1
    2
    )n-1    ，
    得an=
    2
    3
    +(
    1
    2
    )    n    ，
    ∵
    bn+1
    bn
    =
    n
    n+1
    ，
    ∴
    b2
    b1
    =
    1
    2
    ，
    b3
    b2
    =
    2
    3
    ，
    b4
    b3
    =
    3
    4
    ，…，
    bn
    bn-1
    =
    n-1
    n
    ，
    ∴
    bn
    b1
    =
    1
    2
    ×
    2
    3
    ×
    3
    4
    ×…×
    n-1
    n
    =
    1
    n
    ，
    即bn=
    1
    n
    b1    =
    1
    n
    （n≥2）．
    又∵b1=1，∴bn=
    1
    n
    ．
    （3）cn=
    an-
    2
    3
    bn
    =
    (
    1
    2
    )    n
    1
    n
    =n•(
    1
    2
    )    n    ，
    Tn=1×
    1
    2
    +2×(
    1
    2
    )    2    +…+n×(
    1
    2
    )    n    ，①
    1
    2
    Tn=1×(
    1
    2
    )    2    +…+(
    1
    2
    )    n    -n•(
    1
    2
    )    n+1    ，②
    ①-②得：
    1
    2
    Tn=
    1
    2
    +(
    1
    2
    )    2    +…+(
    1
    2
    )    n    -n(
    1
    2
    ) n+1    ，
    1
    2
    Tn=
    1
    2
    (1-
    1
    2 n
    )
    1-
    1
    2
    -n(
    1
    2
    )n+1    ，
    1
    2
    Tn=1-
    1
    2 n
    -n(
    1
    2
    )    n+1    ，
    Tn=2-
    2+n
    2n
    ，
    Tn-1=1-
    2+n
    2n
    ，
    n=1时，Tn-1＜0，即Tn＜1，
    n=2时，Tn-1=0，即Tn=1，
    n≥3时，Tn-1＞0，即Tn＞1．
    点评：本题考查等比数列的证明、数列通项公式的求法和数列前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列的递推式的灵活应用．
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    3+4an
    12-4an
    ， n∈N*    ．
    （1）若数列{bn}满足：bn=
    1
    an-
    1
    2
    (n∈N*)    ，试证明数列bn-1是等比数列；
    （2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
    （3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足
    1
    2
    a1+
    1
    22
    a2+
    1
    23
    a3+…+
    1
    2n
    an=2n+1    则{an}的通项公式
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足：a1=
    3
    2
    ，且an=
    3nan-1
    2an-1+n-1
    （n≥2，n∈N*）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
    （1）若a1=
    54
    ，求an；
    （2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
    2n-1
    2n-1
    ．

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