Question

11．已知函数f（x）=x²-2kx-3k+2（k∈R）．
（Ⅰ）若f（x）为偶函数，用定义法证明函数y=f（x）-2x在区间[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，0]上有最小值-2，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的对称轴，由偶函数的定义可得k=0，运用单调性的定义，注意作差，变形和定符号、下结论几个步骤；
（Ⅱ）求出对称轴x=k，讨论k≤0时，k＞0时，结合单调性，解方程即可得到所求k的值．

解答 解：（Ⅰ）二次函数f（x）的对称轴方程为x=k，
因为f（x）为R上的偶函数，所以对称轴为y轴，则k=0．
所以y=f（x）-2x=x²-2x+2，令g（x）=x²-2x+2，
任取x₁，x₂，且1≤x₁＜x₂，
则$g（{x_1}）-g（{x_2}）=x_1^2-2{x_1}-x_2^2+2{x_2}$=$（x_1^2-x_2^2）-2（{x_1}-{x_2}）$
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2），
因为1≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁+x₂-2＞0，
所以g（x₁）-g（x₂）＜0，即g（x₁）＜g（x₂），
所以g（x）在[1，+∞）为增函数，
即函数y=f（x）-2x在区间[1，+∞）是增函数，得证；
（Ⅱ）二次函数f（x）开口向上，对称轴为直线x=k，而x∈（-∞，0]，
则①k≤0时，$f{（x）_{min}}=f（k）={k^2}-2{k^2}-3k+2=-2$，
解得k=-4或k=1，又此时k≤0，所以k=-4．
②k＞0时，f（x）在（-∞，0]上单调递减，f（x）_min=f（0）=-3k+2=-2，
解得$k=\frac{4}{3}$．
综上所述：k的值为-4或$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查二次函数的单调性的证明和运用，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于中档题．