Question

设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（

π

6

）|对一切x∈R恒成立，则   
①f（-

π

12

）=0；       
②f（x）的图象关于（

π

6

，0）对称；
③f（x）的单调递增区间是[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）；    
④|f（

7π

12

）|＞|f（

π

5

）|；
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相交．
以上结论正确的是

 

（写出所有正确结论的编号）．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：依题意，可知x=

π

6

是其一条对称轴，由f（0）=f（

π

3

）可得，b=

3

3

a，不妨令a=

3

，则b=1（或a=-

3

，则b=-1，
再对①②③④⑤五个选项逐一分析判断即可．

解答： 解：∵f（x）=asin2x+bcos2x，f（x）≤|f（

π

6

）|对一切x∈R恒成立，
∴x=

π

6

是其一条对称轴，
∴f（0）=f（

π

3

），即b=

3

2

a-

1

2

b，
∴b=

3

3

a，不妨令a=

3

，则b=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
对于①，f（-

π

12

）=0，正确；       
对于②，f（

π

6

）=2≠0，
∴f（x）的图象关于（

π

6

，0）对称不正确；
对于③，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

．
或由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（此时a与b均为负值）（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间是kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），或[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（此时a与b均为负值），（k∈Z），故③错误；    
对于④，|f（

7π

12

）|=2|sin（

7π

6

+

π

6

）|=

3

，
|f（

π

5

）|=2|sin（

2π

5

+

π

6

）|=2sin

13π

30

＞2sin

10π

30

=

3

，故④错误；
对于⑤，存在经过点（a，b）=（

3

，1）的直线与函数f（x）的图象相交，正确．
故答案为：①⑤．

点评：本题考查两角和的正弦，着重考查正弦函数的单调性、对称性，考查分析综合应用能力，属于难题．