Question

二面角α-EF-β的大小为120°，A是它内部的一点AB⊥α，AC⊥β，B，C分别为垂足．
（1）求证：平面ABC⊥β；
（2）当AB=4cm，AC=6cm，求BC的长及A到EF的距离．

Answer 1

分析：（1）根据AB⊥α，EF?α，可知EF⊥AB，同理EF⊥AC，AB，AC是两条相交直线，从而EF⊥平面ABC，故平面ABC⊥平面β．
（2）设平面ABC与EF交于点D易证，∠BDC是二面角α-EF-β的平面角，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=4 cm，AC=6 cm时，故可求BC，AD是A到EF的距离，利用正弦定理，可求AD的长．

解答：解：（1）∵AB⊥α，EF?α，∴EF⊥AB，
同理EF⊥AC，AB，AC是两条相交直线，
∴EF⊥平面ABC，
∵EF?β，∴平面ABC⊥平面β．
（2）设平面ABC与EF交于点D，连接BD，CD，则BD，CD?平面ABC，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，EF⊥DC，∠BDC是二面角α-EF-β的平面角，∠BCD=120°，A，B，C，D在同一平面内，且∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠BAC=60°，当AB=4 cm，AC=6 cm时，
BC=

AB2+AC2-2AB×AC×cos60°

又∵A，B，C，D共圆，∵AD是直径．∵EF⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AD⊥EF，即AD是A到EF的距离，由正弦定理，得AD=

BC

sinA

=

4 21

3

（cm）

点评：本题以二面角为载体，流程面面垂直，考查点线距离，关键是利用面面垂直的判定定理．