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13.已知函数f(x)=x2+mx+2(其中m∈R)与g(x)=x+3有交点.
(1)若实数x为两函数图象交点的横坐标.请写出m关于x的函数关系式;
(2)在(I)的条件下.试利用单调性的定义求m(x)的单调区间:
(3)若对任意的实数x∈[1,+∞).函数y=f(x)图象恒在y=g(x)的图象上方,结合(1)(2)的结论,求出实数m的取值范围.

分析 (1)利用两个函数有交点,通过判别式列出关系式即可.
(2)直接利用单调性的定义,证明函数在x<0与x>0时都是减函数.得到单调区间.
(3)利用二次函数的性质与一次函数的性质,列出不等式组借助(1)(2)的结论求解即可.

解答 解:(1)实数x为两函数f(x)=x2+mx+2(其中m∈R)与g(x)=x+3图象交点的横坐标.
可得x2+mx+2=x+3.解得m=$-x+\frac{1}{x}+1$.
(2)设x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2
m(x1)-m(x2)=$-{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}+1$+${x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}-1$=x2-x1+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=(x2-x1)(1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$)>0,
可得m(x1)>m(x2),函数是减函数.
x1,x2∈(-∞,0)且x1<x2
m(x1)-m(x2)=$-{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}+1$+${x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}-1$=x2-x1+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=(x2-x1)(1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$)>0,
可得m(x1)>m(x2),函数是减函数.
函数的单调减区间为:(-∞,0),(0,+∞).
(3)对任意的实数x∈[1,+∞).函数y=f(x)图象恒在y=g(x)的图象上方,
就是x2+mx+2≥x+3.在x∈[1,+∞)恒成立.即m≥$-x+\frac{1}{x}+1$,在x∈[1,+∞)恒成立.
只需m≥($-x+\frac{1}{x}+1$)max,x∈[1,+∞),由(2)可知y=$-x+\frac{1}{x}+1$在x∈[1,+∞)的单调减函数,
可得($-x+\frac{1}{x}+1$)max=1,
∴m≥1.

点评 本题考查函数与方程的综合应用,二次函数的性质以及函数的单调性的应用,函数的最值,考查分析问题解决问题的能力.

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