Question

9．已知A，B是焦点为F的抛物线y²=4x上的两动点，线段AB的中点M在直线x=t（t为常数且t＞0）上．
（Ⅰ）求|FA|+|FB|的值（用t表示）；
（Ⅱ）求|AB|的最大值（用t表示）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）抛物线的定义直接求|FA|+|FB|的值（用t表示）；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通过平方差法，求出直线AB的方程，利用弦长公式求|AB|的表达式，然后求解最大值（用t表示）．

解答 解：（Ⅰ） 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（t，m），则x₁+x₂=2t，y₁+y₂=2m．
由抛物线定义知：|FA|=x₁+1，|FB|=x₂+1．
所以|FA|+|FB|=x₁+x₂+2=2t+2．    …（6分）
（Ⅱ） 由 $\left\{\begin{array}{l}{y_1}^2=4{x_1}\\{y_2}^2=4{x_2}\end{array}\right.$得     （y₁+y₂） （y₁-y₂）=4（x₁-x₂），所以$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{y_1}-{y_2}}}$=$\frac{m}{2}$．故可设直线AB方程为$\frac{m}{2}$（y-m）=x-t，即x=$\frac{m}{2}$y-$\frac{m^2}{2}$+t．
联立$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m}{2}y-\frac{m^2}{2}+t\\{y^2}=4x\end{array}\right.$消去x，得y²-2my+2m²-4t=0．
则△=16t-4m²＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=2m²-4t．所以
|AB|=$\sqrt{1+\frac{m^2}{4}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{（4t-{m^2}）（4+{m^2}）}$=$\sqrt{-{{[{m^2}-2（t-1）]}^2}+4{{（t+1）}^2}}$，
其中0≤m²＜4t．
当t≥1时，因为0≤2t-2＜4t，所以，当m²=2t-2时，|AB|取最大值
|AB|_max=2t+2．
当0＜t＜1时，因为2t-2＜0，所以，当m²=0时，|AB|取最大值
|AB|_max=4$\sqrt{t}$．
综上，|AB|_max=$\left\{\begin{array}{l}2t+2，\;\;\;\;t≥1\\ 4\sqrt{t}.\;\;\;\;\;0＜t＜1\end{array}\right.$

点评 本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．