Question

已知圆M：（x+1）²+y²=16及定点N（1，0），点P是圆M上的动点，线段PN的中垂线与线段PM相交于点G，则点G的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1

．

Answer 1

分析：根据圆M的标准方程得到点M坐标（-1，0），圆的半径R=4．再由线段中垂线定理，可化简出GM+GN=PM=4，从而得出点G的轨迹C是以M、N为焦点，2a=4的椭圆．最后根据椭圆的基本概念，即可得出点G的轨迹C对应的椭圆的标准方程．

解答：解：∵圆M方程为：（x+1）²+y²=16
∴点M（-1，0），半径R=4，
∵线段PN的中垂线与线段PM相交于点G，
∴GN=GP，可得GM+GN=GM+GP=PM
∵点P是圆M上的动点，∴PM长为圆M的半径4
∴动点G满足GM+GN=4，点G的轨迹C是以M、N为焦点，2a=4的椭圆．
可得a²=4，c=1，b²=a²-c²=3
∴轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
故答案为：

x2

4

+

y2

3

=1

点评：本题借助一个动点的轨迹，得到椭圆的第一定义，进而求出其轨迹方程．着重考查了线段的垂直平分线定理和椭圆的基本概念等知识点，属于基础题．