Question

【题目】在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=
（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；
（2）当x∈[1，3]时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由初等函数性质知， 在[0，+∞）上单调递减，

而 在[0，+∞）上单调递增，

所以 是[0，+∞）上的弱减函数．

（2）解：不等式化为 在x∈[1，3]上恒成立，则 ，

而 在[1，3]单调递增，∴ 的最小值为 ， 的最大值为 ，

∴ ，∴a∈[﹣1， ]．

（3）解：由题意知方程 在[0，3]上有两个不同根，

①当x=0时，上式恒成立；

②当x∈（0，3]时，则由题意可得方程 只有一解，

根据 ，

令 ，则t∈（1，2]，

方程化为 在t∈（1，2]上只有一解，所以 ．

【解析】（1）利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断 是[0，+∞）上的弱减函数．（2）根据题意可得 ，再利用函数的单调性求得函数的最值，可得a的范围．（3）根据题意，当x∈（0，3]时，方程 只有一解，分离参数k，换元利用二次函数的性质，求得k的范围．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的性质，需要了解函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能得出正确答案．