Question

将一幅斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD=BD=

2

，∠BAC=30°，若它们的斜边AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法正确的是

①③

．
①当平面ABD⊥平面ABC时，C、D两点间的距离为

2

；
②在三角板ABD转动过程中，总有AB⊥CD；
③在三角板ABD转动过程中，三棱锥D-ABC体积的最大值为

3

6

．

Answer 1

分析：①结合图象，利用面面垂直的性质及直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半求解；
②用反证法，假设垂直，根据线面垂直的判定与性质推到是否可能，从而得出结论；
③根据棱锥的体积公式，在底面积不变的情况下，体积的大小取决于高，当平面ABD⊥平面ABC时，高最大，求出即可．

解答：解：①取AB中点O，连接DO、CO，
∵AD=BD=

2

，∴DO=1，AB=2，OC=1
∵平面ABD⊥平面ABC，DO⊥AB，∴DO⊥平面ABC，DO⊥OC，
∴DC=

2

，①正确；
②若AB⊥CD，则AB⊥平面CDO，AB⊥OC，∵O为中点，∴AC=BC，∠BAC=45°与∠BAC=30°矛盾，∴②错误；
③当DO⊥平面ABC时，棱锥的高最大，此时V_棱锥=

1

3

×

1

2

×AC×BC×DO=

1

6

×

3

×1×1=

3

6

．③正确．
故答案是①③

点评：本题考查面面垂直的性质、线面垂直的性质及棱锥的体积公式．V_棱锥=

1

3

Sh．