【题目】若函数是定义在
上的奇函数,且当
时,
.
(Ⅰ)若,求函数
的解析式;
(Ⅱ)若,方程
至少有两个不等的解,求
的取值集合;
(Ⅲ)若函数为
上的单调减函数,
①求的取值范围;
②若不等式成立,求实数
的取值集合.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)①
,②
【解析】
首先根据函数的奇偶性求出函数解析式为,
(Ⅰ)将代入即可;(Ⅱ)将
代入求出此时函数解析式,画出函数图象,方程
的解,转化为函数
与
的交点,数形结合即可求解;(Ⅲ)将各段函数配成标准式,求出其对称轴,根据函数在定义域上单调递减求出参数
的值,根据函数的奇偶性及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式,最后解一元二次不等式即可;
解:因为函数是定义在
上的奇函数,且当
时,
.
设则
,
因为
所以,
,
综上
(Ⅰ)当时,
;
(Ⅱ)当时,
,可画函数图象如下所示:
因为方程至少有两个不等的解,即函数
与
至少有两个交点,
从函数图象可知
即
(Ⅲ)因为函数为
上的单调减函数,
①当时,对称轴
,所以
在
上单调递减,
由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同,所以在
上单调递减,
所以时,
在
上为单调递减函数,
当时,
在
递增,在
上递减,不合题意,
所以函数为单调减函数时,
的范围为
.
②,
,
又是奇函数,
,
又因为为
上的单调递减函数,所以
,
即解得
或
即
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【题目】已知椭圆的离心率为
,两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设与圆O:相切的直线l交椭圆C于A,B两点(O为坐标原点),求△AOB面积的最大值。
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【题目】某中学作为蓝色海洋教育特色学校,随机抽取100名学生,进行一次海洋知识测试,按测试成绩(假设考试成绩均在[65,90)内)分组如下:第一组[65,70),第二组 [70,75),第三组[75,80),第四组 [80,85),第五组 [85,90).得到频率分布直方图如图C34.
(1)求测试成绩在[80,85)内的频率;
(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组,定期在校内进行义务宣讲,并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队,求第四组至少有1名学生被抽中的概率.
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【题目】正整数的所有约数之和用
表示,(比如
).试答下列各问:
(1)证明:如果和
互质,那么
;
(2)当是
的约数(
),且
.试证
是质数.其次,如果
是正整数,
是质数,试证
也是质数;
(3)设(
为正整数,
为奇数),且
.试证存在质数
,使得
.
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【题目】为了弘扬传统文化,某市举办了“高中生诗词大赛”,现从全市参加比赛的学生中随机抽取人的成绩进行统计,得到如图所示的频率分布直方图,其中成绩的分组区间为
,
,
,
.
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)在所抽取的名学生中,用分层抽样的方法在成绩为
的学生中抽取了一个容量为
的样本,再从该样本中任意抽取
人,求
人的成绩均在区间
内的概率;
(3)若该市有名高中生参赛,根据此次统计结果,试估算成绩在区间
内的人数.
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【题目】已知函数f(x),给出下列判断:(1)函数
的值域为
;(2)
在定义域内有三个零点;(3)
图象是中心对称图象.其中正确的判断个数为( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
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【题目】从某电子商务平台随机抽取了1000位网上购物者(年消费都达到2000元),并对他们的年龄进行了调查,统计情况如下表所示:
年龄 | ||||||
人数 | 100 | 150 | 400 | 200 | 100 | 50 |
该电子商务平台将年龄在的人群定义为消费主力军,其它年龄段定义为消费潜力军.
(1)若该电子商务平台共10万位网上购物者,试估计消费主力军的人数;
(2)为了鼓励消费潜力军消费,该平台决定对年消费达到2000元的购物者发放代金券,消费主力军每人发放100元,消费潜力军每人发放200元.现采用分层抽样(按消费主力军与消费潜力军分层)的方式从参与调查的1000位网上购物者中抽取10人,并在这10人中随机抽取3人进行回访,求这3人获得代金券总金额(单位:元)的分布列及数学期望.
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【题目】在直角坐标系 中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求直线和曲线
的普通方程;
(2)已知点,且直线
和曲线
交于
两点,求
的值
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