Question

已知二次函数g（x）的图象经过坐标原点，且满足g（x+1）=g（x）+2x+1，设函数f（x）=m[g（x+1）-1]-lnx，其中m为常数且m≠0．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）当-2＜m＜0时，判断函数f（x）的单调性并且说明理由．

Answer 1

分析：（1）用待定系数法设g（x）=ax²+bx+c，再据题设条件建立方程求参数，c=0易求，求a，b要求正确理解g（x+1）=g（x）+2x+1恒成立这一特性，即理解函数相等的意义，通过函数相等转化出关于a，b的方程求值．
（2）解出函数f（x）的表达式及其定义域，再求导，依据参数m的取值范围来判断导数的符号，确定函数f（x）在定义域上的单调性，解答本题时要注意答题格式．

解答：解：（1）设g（x）=ax²+bx+c，g（x）的图象经过坐标原点，所以c=0．
∵g（x+1）=g（x）+2x+1∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+2x+1
即：ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+2）x+1
∴a=1，b=0，g（x）=x²；（6分）
（2）当-2＜m＜0时，判断函数f（x）在其定义域上单调递减，证明如下：
∵函数f（x）=mx²+2mx-lnx的定义域为（0，+∞），
∴f′(x)=2mx+2m-

1

x

=

2mx2+2mx-1

x

．
令k（x）=2mx²+2mx-1，k(x)=2m(x+

1

2

)2-

m

2

-1，
∵-2＜m＜0，∴k（x）=2mx²+2mx-1＜0在（0，+∞）上恒成立，
即f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．
∴当-2＜m＜0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减．（13分）

点评：考查函数相等，求定义域的方法，用导数数判断函数的单调性，综合性较强．