Question

已知函数f（x）=

|cosx|

x

-k在（0，+∞）上恰有四个零点x₁、x₂、x₃、x₄，且0＜x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则（　　）

• A、tan（x₁+

  π

  4

  ）=

  x1-1

  1+x1

• B、tan（x₂+

  π

  4

  ）=

  x2-1

  1+x2

• C、tan（x₃+

  π

  4

  ）=

  x3-1

  1+x3

• D、tan（x₄+

  π

  4

  ）=

  x4-1

  1+x4

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）=

|cosx|

x

-k的零点就是方程

|cosx|

x

-k=0的根，也就是方程|cosx|=kx的根，
令y=|cosx|，y=kx，上述方程的根就是函数y=|cosx|与y=kx的交点的横坐标，故函数f（x）=

|cosx|

x

-k在（0，+∞）上恰有四个零点等价于y=|cosx|与y=kx在（0，+∞）有且仅有四个交点，数形结合可得．

解答： 解：函数f（x）=

|cosx|

x

-k的零点就是方程

|cosx|

x

-k=0的根，也就是方程|cosx|=kx的根，
令y=|cosx|，y=kx，上述方程的根就是函数y=|cosx|与y=kx的交点的横坐标，
∴函数f（x）=

|cosx|

x

-k在（0，+∞）上恰有四个零点等价于y=|cosx|与y=kx在（0，+∞）有且仅有四个交点，
如图：

点A为y=kx与y=|cosx|的切点，
由条件知，DCBA的横坐标依次为x₁、x₂、x₃、x₄，
下求A的坐标：当x∈（

3π

2

，2π）时，y=|cosx|=cosx，
∴y′=-sinx，∴斜率k=-sinx₄，
又在A点的纵坐标满足cosx₄=kx₄，
∴cosx₄=kx₄=-x₄sinx₄，∴tanx4=-

1

x4

，
∴tan（x₄+

π

4

）=

tanx4+1

1-tanx4

=

- 1 x4 +1

1-(- 1 x4 )

=

x4-1

1+x4

，
故选：D．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断、函数的零点等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属基础题．