考点:函数的零点与方程根的关系
专题:函数的性质及应用
分析:函数f(x)=
-k的零点就是方程
-k=0的根,也就是方程|cosx|=kx的根,
令y=|cosx|,y=kx,上述方程的根就是函数y=|cosx|与y=kx的交点的横坐标,故函数f(x)=
-k在(0,+∞)上恰有四个零点等价于y=|cosx|与y=kx在(0,+∞)有且仅有四个交点,数形结合可得.
解答:
解:函数f(x)=
-k的零点就是方程
-k=0的根,也就是方程|cosx|=kx的根,
令y=|cosx|,y=kx,上述方程的根就是函数y=|cosx|与y=kx的交点的横坐标,
∴函数f(x)=
-k在(0,+∞)上恰有四个零点等价于y=|cosx|与y=kx在(0,+∞)有且仅有四个交点,
如图:
点A为y=kx与y=|cosx|的切点,
由条件知,DCBA的横坐标依次为x
1、x
2、x
3、x
4,
下求A的坐标:当x∈(
,2π)时,y=|cosx|=cosx,
∴y′=-sinx,∴斜率k=-sinx
4,
又在A点的纵坐标满足cosx
4=kx
4,
∴cosx
4=kx
4=-x
4sinx
4,∴
tanx4=-,
∴tan(x
4+
)=
=
=
,
故选:D.
点评:本题考查根的存在性及根的个数判断、函数的零点等基础知识,考查数形结合思想、化归与转化思想.属基础题.