Question

已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1-2n+5（n∈N⁺且n≥2），a₁=1．
（1）若b_n=a_n-2n+1，求证：数列{b_n}（n∈N⁺）是常数列，并求{a_n}的通项；
（2）若S_n是数列{a_n}的前n项和，又c_n=（-1）ⁿS_n，且{c_n}的前n项和T_n＞tn²在n∈N⁺时恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中数列{a_n}满足a_n=2a_n-1-2n+5（n∈N⁺且n≥2），a₁=1．我们易得到a_n-2n+1=2[a_n-1-2（n-1）+1]，又由b_n=a_n-2n+1，可得b_n=2b_n-1，且b₁=0，进而易判断出数列{b_n}（n∈N⁺）是常数列，即b_n=0，再由b_n=a_n-2n+1，即可给出数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）中结论，我们易得数列{a_n}为等差数列，进而易得到S_n的表达式，根据c_n=（-1）ⁿS_n，求出对应的{c_n}后，分n为奇数和偶数两种情况分别求出T_n解对应的不等式式，即可求出实数t的取值范围．

解答：解：（1）由a_n=2a_n-1-2n+5知：a_n-2n+1=2[a_n-1-2（n-1）+1]，而a₁=1
于是由b_n=a_n-2n+1，可知：b_n=2b_n-1，且b₁=0
从而b_n=0，故数列{b_n}是常数列．
于是a_n=2n-1．（5分）
（2）S_n是{a_n}前n项和，则S_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²，c_n=（-1）ⁿn²
当n为奇数时，即n=2k-1，T_n=T_2k-1=-1²+2²-3²+4²+…+（2k-2）²-（2k-1）²
=-k（2k-1）=-

n(n+1)

2

当n为偶数时，T_n=T_2k=T_2k-1+（2k）²=

n(n+1)

2

．
∴T_n=

1

2

n(n+1)(-1)n．
由T_n＞tn²恒成立，则需

1

2

n(n+1)(-1)n＞tn²恒成立．只需n为奇数时恒成立．
∴-

1

2

n(n+1)＞tn2（n=1，3，5，7，），
∴t＜-

1

2

•

n+1

n

（n=1，3，5，7，）恒成立．
而-

1

2

(1+

1

n

)≥-1，
∴t＜-1，故所需t的范围为（-∞，-1）．（13分）

点评：本题考查的知识点是数列递推公式及数列与不等式的综合应用，其中根据已知中数列的递推公式a_n=2a_n-1-2n+5求出数列{a_n}的通项公式是解答本题的关键．