Question

解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：如图，设数轴上与－1，1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间[－1，1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x． 　　∴－1－x＋1－x＝3，得x＝． 　　同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离和为3，B1对应数轴上的x， 　　∴x－1＋x－(－1)＝3．∴x＝． 　　从数轴上可看到，点A1，B1之间的位点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3． 　　所以原不等式的解集是(－∞，－]∪[，＋∞)． 　　解法二：当x≤－1时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x－1)≥3， 　　解得：x≤－． 　　当－1＜x＜1时，原不等式可以化为 　　x＋1－(x－1)≥3，即2≥3．不成立，无解． 　　当x≥1时，原不等式可以化为 　　x＋1＋x－1≥3． 　　所以x≥． 　　综上，可知原不等式的解集为{x|x≤－或x≥}． 　　解法三：将原不等式转化为 　　|x＋1|＋|x－1|－3≥0． 　　构造函数y＝|x＋1|＋|x－1|－3即 　　y＝ 　　作出函数的图象(如下图) 　　函数的零点是－，． 　　从图象可知，当x≤－或x≥时y≥0，即|x＋1|＋|x－1|－3≥0． 　　所以原不等式的解集为(－∞，－]∪[，＋∞)． 　　思路分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解，对于形如|x＋a|＋|x＋b|的代数式，可以认为是分段函数．

提示：

这三种解法以第二种解法最重要，但是其中的分段讨论要遵循分类讨论的原则“不重不漏”；第一种解法中关键是找到一些特殊的点如A1，B1；第三种解法中，准确画出图象，是y＝|x＋1|＋|x－1|－3的图象，而不是y＝|x＋1|＋|x－1|的，其次函数的零点要找准．这些都是求解集的关键．