Question

6．如图，BE，CD均垂直平面AED，AE⊥DE，且AE=BE=DE=2，CD=1．
（1）设M，N分别是线段AD，AB的中点，求证：MN∥平面BCDE；
（2）求直线AB与平面AEC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BD，由MN∥BD，能证明MN∥平面BCDE．
（2）以E为原点，EA为x轴，ED为y轴，EB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB与平面AEC所成的角的余弦值．

解答 证明：（1）连结BD，∵M，N分别是线段AD，AB的中点，
∴MN∥BD，
∵MN?平面BCDE，BD?平面BCDE，
∴MN∥平面BCDE．
解：（2）以E为原点，EA为x轴，ED为y轴，EB为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得A（2，0，0），B（0，0，2），E（0，0，0），C（0，2，1），
$\overrightarrow{AB}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{EA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{EC}$=（0，2，1），
设平面AEC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-2），
设直线AB与平面AEC所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{8}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-\frac{10}{25}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴AB与平面AEC所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．