Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

2

)=1，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）．
（1）求f（1）；
（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥-2．

Answer 1

分析：（1）用赋值法令x=y=1 f（1）=0
（2）由f(

1

2

)=1，f(0)=0，将-2表示为f（4），再将f（-x）+f（3-x）转化为f[x（x-3）]，原不不等式f（-x）+f（3-x）≥-2．转化为f[x（x-3）]，≥f（4），再利单调性定义求解．

解答：解：（1）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1）?f（1）=0（4分）
（2）由f（

1

2

）=1，f（1）=0，
结合题意，可得f(1)=f(2)+f(

1

2

)?f(2)=-1（6分）
f（4）=f（2）+f（2）=-2（8分）∴f（-x）+f（3-x）=f[x（x-3）]≥f（4）（10分）
又f（x）为（0，+∞）上的减函数
∴

-x＞0?x＜0 3-x＞0?x＜3 x(x-3)≤4?-1≤x≤4

（14分）
解得-1≤x＜0
∴原不等式的解集为[-1，0）．（16分）

点评：本题主要考查抽象函数中的赋值法和单调性定义的应用．