Question

已知☉O:x²+y²=1和定点A(2,1),由☉O外一点P(a,b)向☉O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.

(1)求实数a,b间满足的等量关系.
(2)求线段PQ长的最小值.
(3)若以P为圆心所作的☉P与☉O有公共点,试求半径取最小值时☉P的方程.

Answer 1

(1) 2a+b-3=   (2)   (3) (x-)²+(y-)²=(-1)²

(1)连接OP,

∵Q为切点,
∴PQ⊥OQ,
由勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|².
又由已知|PQ|=|PA|,故|PQ|²=|PA|².
即(a²+b²)-1²=(a-2)²+(b-1)².
化简得实数a,b间满足的等量关系为:2a+b-3=0.
(2)方法一:由2a+b-3=0,得b=-2a+3.
|PQ|==
==.
故当a=时,|PQ|_min=.即线段PQ长的最小值为.
方法二:由(1)知,点P在直线l:2x+y-3=0上.
∴|PQ|_min=|PA|_min,即求点A到直线l的距离.
∴|PQ|_min==.
(3)设☉P的半径为R,
∵☉P与☉O有公共点,☉O的半径为1,
∴|R-1|≤|OP|≤R+1.
即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1.
而|OP|==
=,
故当a=时,|OP|_min=.
此时,b=-2a+3=,R_min=-1.
得半径取最小值时☉P的方程为(x-)²+(y-)²=(-1)².