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11.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,AC与BD交于点O,且平面PAC⊥底面ABCD,E为棱PA上一点.
(1)求证:BD⊥OE;
(2)若AB=2CD,AE=2EP,求证:EO∥平面PBC.

分析 (1)由面面垂直的性质得BD⊥平面PAC,由此利用线面垂直的性质能证明BD⊥OE.
(2)由已知得$\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{EP}$=2,由AB∥CD,AC与BD交于点O,得$\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{OC}$,从而利用平行线分线段成比例定理得OE∥PC,由此能证明EO∥平面PBC.

解答 (1)证明:在四棱锥P-ABCD中,
∵AC⊥BD,且平面PAC⊥底面ABCD,BD∩AC=O,
∴BD⊥平面PAC,
∵OE?平面PAC,∴BD⊥OE.
(2)证明:∵AB=2CD,AE=2EP,∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{EP}$=2,
∵AB∥CD,AC与BD交于点O,
∴△AOB∽△COD,∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{OC}$,
∴$\frac{AE}{EP}=\frac{AO}{OC}$,∴OE∥PC,
∵EO?平面PBC,PC?平面PBC,
∴EO∥平面PBC.

点评 本题考查异面直线垂直的证明,考查线面平行的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

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