Question

已知

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，M、N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上任意一点，且直线PM，PN的斜率分别为k₁、k₂（k₁k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值为1，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

分析：先求出K_PM•K_PN =

t-q

s-p

•

t+q

s+ p

=

t2- q2

s2-p2

=

b2

a2

，再由|k₁|+|k₂|≥2

|k1|•|k2|

=2

b

a

=1，即b=

a

2

，
由此求出e=

c

a

的值．

解答：解：设M（p，q），N（-p，-q），P（s，t），则有 

p2

a2

-

q2

b2

= 1，

s2

a2

-

t2

b2

= 1，
∴k₁•k₂=K_PM•K_PN=

t-q

s-p

•

t+q

s+ p

=

t2- q2

s2-p2

=

b2

a2

．
又|k₁|+|k₂|≥2

|k1|•|k2|

=2

b

a

，由题意可得  2•

b

a

=1，∴b=

a

2

，
∴e=

c

a

=

a2+ a2 4

a

=

5

2

，
故答案为

5

2

．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，基本不等式的应用，得到 K_PM•K_PN=

t-q

s-p

•

t+q

s+ p

=

t2- q2

s2-p2

=

b2

a2

，是解题的关键．