Question

如图所示，F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F₁，F₂两点的距离之和为4且b=

3

．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F₁PQ的面积．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的定义得知a的值，即求得椭圆的方程和焦点坐标；
（2）根据题意得到PQ的方程并联立椭圆方程，利用弦长公式求出|PQ|，利用点到直线的距离公式求出d，从而求出△F₁PQ的面积．

解答：解：（1）由题意知，2a=4，即a=2，由b=

3

，
得椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，焦点坐标为（±1，0）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂） 由已知得PQ的方程为：y=

3

2

(x-1)
联立

y= 3 2 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

，解得2x²-2x-3=0，∴|PQ|=

1+k2

△

2

=

1+ 3 4

• 

28

2

=

7

2

，
点F₁到PQ的距离为d=

| 3 2 (-1-1)-0|

1+( 3 2 )2

=

2 21

7

，
∴△F₁PQ的面积S=

1

2

|PQ|d=

1

2

×

7

2

×

2 21

7

=

21

2

，
即所求的△F₁PQ的面积为

21

2

点评：此题考查椭圆方程及弦长公式和点到直线的距离公式应用．