Question

已知向量

α

，

β

，

γ

满足|

α

|=1，|

α

-

β

|=|

β

|，（

α

-

γ

）•（

β

-

γ

）=0．若对每一确定的

β

，|

γ

|的最大值和最小值分别为m，n，则对任意

β

，m-n的最小值是

 

．

Answer 1

分析：可以先把向量

α

，

β

，

γ

放入平面直角坐标系，则

α

=（x₁，0），

β

=（

1

2

，y₁），再用

α

，

β

的坐标表示

γ

的坐标，利用（

α

-

γ

）•（

β

-

γ

）=0，可转化为含y₁的式子，再看y₁等于多少时，m-n有最小值即可．

解答：解：把

α

放入平面直角坐标系，使

α

起点与坐标原点重合，方向与x轴正方向一致，则

α

=（1，0）
设

β

=（x₁，y₁），∵|

α

-

β

|=|

β

|，∴x₁=

1

2

，∴

β

=（

1

2

，y₁）
设

γ

=（x，y），则

α

-

γ

=（1-x，-y），

β

-

γ

=（

1

2

-x，y₁-y）
∵（

α

-

γ

）•（

β

-

γ

）=0．∴（1-x）（

1

2

-x）-y（y₁-y）=0
化简得，x²+y²-

3

2

x-y₁y+

1

2

=0，也即(x-

3

4

)2+(y-

y1

2

)2=（

y12+ 1 4

2

）²，
点（x，y）可表示圆心在（

3

4

，

y1

2

），半径为

y12+ 1 4

2

的圆上的点，
|

γ

|=

x2+y2

，∴最大值m=

( 3 4 )2+( y1 2 )2

+

y12+ 1 4

2

，最小值n=

( 3 4 )2+( y1 2 )2

-

y12+ 1 4

2

．
∴m-n=

( 3 4 )2+( y1 2 )2

+

y12+ 1 4

2

-（

( 3 4 )2+( y1 2 )2

-

y12+ 1 4

2

）=

y12+ 1 4

当y₁²=0时，m-n有最小值为

1

2

，
故答案为

1

2

点评：本题考查了平面向量的坐标运算，做题时应认真分析，找到突破口．