【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若存在,对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)当时,的单调递减区间为,单调递增区间为;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;(2).
【解析】
(1)求导,对参数进行分类讨论,求得不同情况下的单调性即可;
(2)根据题意构造函数,将问题转化为求解该函数最大值的问题,进而利用导数研究其单调性求得结果即可.
(1).
令,则,
当时,在上,,在上,,
∴的单调递减区间为,单调递增区间为.
当时,在上,,在上,,
∴的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由,得,即.
设,则恒成立,即.
,
因为,则在上,,在上,,
∴在上单调递增,在上单调递减.
∴.
存在,使得成立,则.
令,,
∴在上,,在上,,
∴在上单调递减,在上单调递增.
∴.
∴的取值范围为.
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【题目】如图,四边形是矩形,,,,分别为,上的一点,且,,将矩形卷成以,为母线的圆柱的半个侧面,且,分别为圆柱的上、下底面的直径.
(1)求证:平面平面;
(2)求四棱锥的体积.
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【题目】已知函数,,是的导函数.
(1)若,求的值;
(2)设.①若函数在定义域上单调递增,求的取值范围;②若函数在定义域上不单调,试判定的零点个数,并给出证明过程.
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【题目】某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过的包裹收费10元,重量超过的包裹,除收费10元之外,超过的部分,每超出(不足,按计算)需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示(同一组数据用该区间的中点值作代表).
(1)求这60天每天包裹数量的平均数和中位数;
(2)该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润,剩余的作为其他费用.已知该网点有工作人员3人,每人每天工资100元,以样本估计总体,试估计该网点每天的利润有多少元?
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【题目】千百年来,我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化,总结了丰富的“看云识天气”的经验,并将这些经验编成谚语,如“天上钩钩云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走,雨在半夜后”,观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气,得到如下列联表:
夜晚天气 日落云里走 | 下雨 | 未下雨 |
出现 | 25 | 5 |
未出现 | 25 | 45 |
临界值表 | ||||
P() | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
并计算得到,下列小波对地区A天气判断不正确的是( )
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C.有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D.出现“日落云里走”,有的把握认为夜晚会下雨
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【题目】某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图,则下列结论中一定正确的是( )
(注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生).
A.互联网行业从业人员中80前占3%以上
B.互联网行业90后中,从事设计岗位的人数比从事市场岗位的人数要多
C.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
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【题目】已知,图中直棱柱的底面是菱形,其中.又点分别在棱上运动,且满足:,.
(1)求证:四点共面,并证明∥平面.
(2)是否存在点使得二面角的余弦值为?如果存在,求出的长;如果不存在,请说明理由.
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【题目】为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天,某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动,共有50名志愿者参与.志愿者的工作内容有两项:①到各班做宣传,倡议同学们积极捐献冬衣;②整理、打包募捐上来的衣物.每位志愿者根据自身实际情况,只参与其中的某一项工作.相关统计数据如下表所示:
(1)如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人,再从这5人中选2人,那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?
(2)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生,8名女生,从中选出2名志愿者,用表示所选志愿者中的女生人数,写出随机变量的分布列及数学期望.
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