【题目】已知函数f(x)= ,若对于定义域内的任意x1 , 总存在x2使得f(x2)<f(x1),则满足条件的实数a的取值范围是 .
【答案】a≥0
【解析】解:对于定义域内的任意x1 总存在x2使得f(x2)<f(x1),即为f(x)在x≠﹣a处无最小值;
①a=0时,f(x)= 无最小值显然成立;
②a>0时,f(x)的导数为f'(x)= ,可得f(x)在(﹣∞,﹣a)上递减,在(﹣a,3a)上递增,在(3a,+∞)递减,
即有f(x)在x=3a处取得极大值;
当x>a时,f(x)>0;x<a时,f(x)<0.取x1<a,x2≠﹣a即可;
当x<﹣a时,f(x)在(﹣∞,﹣a)递减,且x1< <﹣a,
f(x1)>f(< ),故存在x2=x1+ |x1+a|,使得f(x2)<f(x1);
同理当﹣a<x1<a时,令x2=x1﹣ |x1+a|,使得f(x2)<f(x1)也符合;
则有当a>0时,f(x2)<f(x1)成立;
③当a<0时,f(x)在(﹣∞,3a)上递减,在(3a,a)上递增,在(﹣a,+∞)上递减,即有f(x)在x=3a处取得极小值,
当x>a时,f(x)>0; x<a时,f(x)<0.
f(x)min=f(3a),当x1=3a时,不存在x2 , 使得f(x2)<f(x1)成立.
综上可得,a的取值范围是:[0,+∞)
所以答案是:a≥0.
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的性质,掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集即可以解答此题.
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【题目】已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a≠0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)+(a+1)x+4﹣e≤0对任意x∈[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数).
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【题目】设函数f(x)在定义域[﹣1,1]是奇函数,当x∈[﹣1,0]时,f(x)=﹣3x2 .
(1)当x∈[0,1],求f(x);
(2)对任意a∈[﹣1,1],x∈[﹣1,1],不等式f(x)≤2cos2θ﹣asinθ+1都成立,求θ的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣mx(m∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)当m≥ 时,设g(x)=2f(x)+x2的两个极值点x1 , x2(x1<x2)恰为h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零点,求y=(x1﹣x2)h′( )的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=|2x﹣1|.
(1)若不等式f(x+ )≥2m+1(m>0)的解集为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞),求实数m的值;
(2)若不等式f(x)≤2y+ +|2x+3|,对任意的实数x,y∈R恒成立,求实数a的最小值.
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【题目】如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P,Q分别为的中点.
求证:(1)平面D1 BQ∥平面PAO.
(2)求异面直线QD1与AO所成角的余弦值;
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【题目】如图,有一块平行四边形绿地ABCD,经测量BC=2百米,CD=1百米,∠BCD=120°,拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上,不计路的宽度),将绿地分为面积之比为1:3的左右两部分,分别种植不同的花卉,设EC=x百米,EF=y百米.
(1)当点F与点D重合时,试确定点E的位置;
(2)试求x的值,使路EF的长度y最短.
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【题目】设函数f(x)=aex+ +b(a>0).
(Ⅰ)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;
(Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y= ,求a,b的值.
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【题目】已知等比数列{an}、等差数列{bn},满足a1>0,b1=a1﹣1,b2=a2 , b3=a3且数列{an}唯一.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和.
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