Question

通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．
（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；
（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a²+b²＜4R²；
（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；
（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a²+b²＜c²＜（2R）²，即可证得结果；
（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．
解答：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2
sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°
∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=；
（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1
cosC=＜0∴a²+b²＜c²＜（2R）²
即a²+b²＜4R²（8分）
（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在
当时，A=90，△ABC存在且只有一个
∴c=
当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个
∴c=2RsinC=2Rsin²AC=
当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角
∴△ABC存在两个
∠A＜90°时，
c=
∠A＞90°时，
c=
点评：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a，b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．