Question

12、已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（-2009）+f（2010）的值为（　　）

A、-2

B、-1

C、2

D、1

Answer 1

分析：由偶函数的性质及函数的周期性将f（-2009）+f（2010）的值用x∈[0，2）时上的函数值表示出来，代入解析式求出值

解答：解：∵数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，且对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），
∴f（-2009）+f（2010）=f（2009）+f（2010）=f（1）+f（0）
又当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），
∴f（-2009）+f（2010）=f（1）+f（0）=log₂（1）+log₂（1+1）=1，
故选D．

点评：本题考查函数的周期性与函数偶函数的性质，解题的关键是根据函数的这两个性质灵活转化，将要求函数值用已知解析式的区间上的函数值表示出来，这是函数周期性运用的一种主要类型，题后应总结其规律，以便于做题时推广．