Question

10．已知集合A={x|x²+3x+2≤0}，B={x|x²+ax+b≤0}．
（Ⅰ）若（∁_RA）∩B={x|-1＜x≤2}，（∁_RA）∪B=R，求a，b的值；
（Ⅱ）若b=1，且A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据集合A，求得集合A，由（∁_RA）∩B={x|-1＜x≤2}，（∁_RA）∪B=R，求出集合B，根据不等式的解集与方程根之间的关系，利用韦达定理即可求得a，b的值，从而求得结果；
（Ⅱ）由A∪B=A，得到B⊆A，分类讨论即可得到a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵A={x|x²+3x+2≤0}=[-2，-1]，
∴（∁_RA）=（-∞，-2）∪（-1，+∞），
∵（∁_RA）∩B={x|-1＜x≤2}=（-1，2]，（∁_RA）∪B=R，
∴B=[-2，2]，
∴-2+2=a，-2×2=b，
∴a=0，b=-4；
（Ⅱ）当b=1时，设f（x）=x²+ax+1，
∵A∪B=A，
∴B⊆A，
当B=∅时，由△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2，
当B≠∅时，由△=a²-4=0，解得a=-2，或a=2，
当a=-2时，B={1}不合题意，
当a=2时，B={-1}符合题意，
若△=a²-4＞0，则$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{f（-1）≥0}\\{f（-2）≥0}\\{-2≤-\frac{a}{2}≤-1}\end{array}\right.$，无解，
综上，所求实数a的范围为（-2，2]．

点评 本题考查了集合的混合运算，对于一元二次不等式的求解，根据已知A∪B和A∩B的范围，求出集合B是解题的关键，属中档题