Question

已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A（0，2），离心率为
（1）求椭圆P的方程：
（2）是否存在过点E（0，-4）的直线l交椭圆P于点R，T，且满足•=．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设椭圆P的方程为 +=1 （a＞b＞0），由题意得b=2，=，
∴a=2c，b²=a²-c²=3c²，∴c=2，a=4，∴椭圆P的方程为：．
（2）假设存在满足题意的直线L．易知当直线的斜率不存在时，•＜0，不满足题意．
故设直线L的斜率为k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂ ）．∵•=，∴x₁•x₂+y₁•y₂=，
由 可得 （3+4k² ）x²-32kx+16=0，由△=（-32k）²-4（3+4k²）•16＞0，
解得 k²＞ ①．
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴y₁•y₂=（kx₁-4 ）（kx₂-4）=k² x₁•x₂-4k（x₁+x₂）+16，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=+-+16=，∴k²=1 ②，
由①、②解得 k=±1，∴直线l的方程为 y=±x-4，
故存在直线l：x+y+4=0，或 x-y-4=0，满足题意．
分析：（1）设椭圆P的方程为 +═1 （a＞b＞0），由椭圆经过点A（0，2），离心率为，求得a和b的值，
从而求得椭圆P的方程．
（2）由 可得 x₁+x₂ 和x₁•x₂ 的值，可得y₁•y₂的值，根据 •=，求出k=±1，
从而得到直线l的方程．
点评：本题考查求椭圆的标准方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量的数量积公式，求出x₁•x₂和y₁•y₂ 的值，是解题的关键．