Question

如图所示，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，侧面对角线AB₁，BC₁上分别有两点E，F，且B₁E=C₁F.求证：EF∥平面ABCD.

Answer 1

证明略

  方法一 分别过E，F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连接MN.

∵BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，
∴EM∥BB₁，FN∥BB₁，
∴EM∥FN.
又∵B₁E=C₁F，∴EM=FN，
故四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN.
又MN平面ABCD，EF平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD.
方法二 过E作EG∥AB交BB₁于G，
连接GF，则，
∵B₁E=C₁F，B₁A=C₁B，
∴，∴FG∥B₁C₁∥BC，
又EG∩FG=G，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，
∴EF∥平面ABCD.