Question

求函数y=x²+2ax-3，x∈[0，2]的最值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：函数f（x）=（x+a）²-a²-3，它的对称轴方程为x=-a，再分①当a＞0时、②当-1＜a≤0时、③当-2＜a＜-1时、④当a≤-2时四种情况，分别利用二次函数的性质，求得函数在区间[0，2]上的最值．

解答： 解：由于函数f（x）=x²+2ax-3=（x+a）²-a²-3，它的对称轴方程为x=-a，
①当-a＜0时，即a＞0，函数f（x）=x²+2ax-3在区间[0，2]上是增函数，
故函数的最小值为f（0）=-3，最大值为f（2）=1+4a．
②当 0≤-a＜1时，即-1＜a≤0，函数的最小值为f（-a）=-3-a²，最大值为f（2）=1+4a．
③当-2＜a＜-1时，函数的最小值为f（a）=-3-a²，最大值为f（0）=-3．
④当-a≥2时，即a≤-2，函数f（x）=x²+2ax-3在区间[0，2]上是减函数，
故函数的最大值为f（0）=-3，最小值为f（2）=1+4a．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．