Question

1．如图：一个圆锥的底面半径为1，高为3，在其中有一个半径为x的内接圆柱．
（1）试用x表示圆柱的高；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？

Answer 1

分析 （1）由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的高的表达式．
（2）由（1）求出的侧面面积的表达式，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值．

解答 解：（1）设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图：BO=1，PO=3，圆柱的高为：h
由图得，$\frac{x}{1}=\frac{3-h}{3}$，即h=3-3x．
（2）S_圆柱侧=2πhx=2π（3-3x）x（5分）
=6π（x-x²），当x=$\frac{1}{2}$时，函数取得最大值为：$\frac{3}{2}π$．
∴当圆柱的底面半径为$\frac{1}{2}$时，它的侧面积最大为$\frac{3}{2}π$（10分）

点评 本题的考点是简单组合体的面积问题，关键是作出轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想．