Question

10．如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，$AD=\sqrt{2}$，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AF⊥面BEG；
（Ⅱ）若AF=FG，求二面角E-AG-B所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ι）推导出AEF∽△CBF，从而AC⊥BE，再求出AC⊥GF，由此能证明AF⊥平面BEG．
（Ⅱ）以点F为原点，FA，FE，FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AG-B所成角的余弦值．

解答 证明：（Ι）∵四边形ABCD为矩形，∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$…（1分）
又∵矩形ABCD中，$AB=1，AD=\sqrt{2}$，∴$AE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，AC=\sqrt{3}$
在Rt△BEA中，$BE=\sqrt{A{B^2}+A{E^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，∴$AF=\frac{1}{3}AC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$BF=\frac{2}{3}BE=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
在△ABF中，$A{F^2}+B{F^2}={（\frac{{\sqrt{3}}}{3}）^2}+{（\frac{{\sqrt{6}}}{3}）^2}=1=A{B^2}$
∴∠AFB=90°，即AC⊥BE…（2分）
∵GF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥GF…（3分）
又∵BE∩GF=F，BE，GF?平面BCE，
∴AF⊥平面BEG…（4分）
解：（Ⅱ）由（Ι）得AD，BE，FG两两垂直，
以点F为原点，FA，FE，FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则$A（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0，0}）$，$B（{0，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，0}）$，$G（{0，0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，$E（{0，\frac{{\sqrt{6}}}{6}，0}）$，
$\overrightarrow{AB}=（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，0}）$，$\overrightarrow{AG}=（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，$\overrightarrow{EG}=（{0，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，$\overrightarrow{AE}=（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{6}}}{6}，0}）$…（6分）
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面ABG的法向量，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow n=0}\hfill\\{\overrightarrow{AG}•\overrightarrow n=0}\hfill\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\frac{{\sqrt{6}}}{3}y=0}\hfill\\{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{\sqrt{3}}}{3}z=0}\hfill\end{array}}\right.$，取$x=\sqrt{2}$，得$\overrightarrow n=（\sqrt{2}，-1，\sqrt{2}）$…（8分）
设$\overrightarrow m=（x，y，z）$是平面AEG的法向量，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow n=0}\hfill\\{\overrightarrow{AG}•\overrightarrow n=0}\hfill\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{\sqrt{6}}}{6}y=0}\hfill\\{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{\sqrt{3}}}{3}z=0}\hfill\end{array}}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow m=（1，\sqrt{2}，1）$…10分
设平面AEG与平面ABG所成角的大小为θ，
则$|{cosθ}|=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$…（11分）
∵平面AEG与平面ABG成钝二面角
∴二面角E-AG-B所成角的余弦值为$-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．…．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．