Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，PA=PC=2，PB=PD，∠BAC=60°，若O是AC与BD的交点．      
（1）求证：PO⊥面ABCD；
（2）若BC=2，OM⊥CD于M，求PM与面ABCD所成角的正切．

Answer 1

分析：（1）由四棱锥P-ABCD的底面为菱形，PA=PC=2，PB=PD，O是AC与BD的交点，知PO⊥AC，PO⊥BD，由此能够证明PO⊥面ABCD．
（2）由四棱锥P-ABCD的底面为菱形，PA=PC=2，∠BAC=60°，BC=2，知△ABC是等边三角形，由题设条件能推导出∠PMO是PM与平面ABCD所成的角，由此能求出PM与面ABCD所成角的正切值．

解答：解：（1）∵四棱锥P-ABCD的底面为菱形，PA=PC=2，PB=PD，O是AC与BD的交点，
∴BO=DO，AO=CO，
∴PO⊥AC，PO⊥BD，
又∵AC∩BD=0，∴PO⊥面ABCD．
（2）∵四棱锥P-ABCD的底面为菱形，PA=PC=2，∠BAC=60°，BC=2，
∴△ABC是等边三角形，AC⊥BD，∴AC=2，BO=DO=

3

，
∴PO=

22-12

=

3

，
∵OM⊥CD于M，∴OM=

DO•CO

DC

=

3 ×1

2

=

3

2

，
∵PO⊥面ABCD，∴∠PMO是PM与平面ABCD所成的角，
由上tan∠PMO=

PO

OM

=

3

3 2

=2．
故PM与面ABCD所成角的正切值为2．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意培养空间思维能力．