Question

（本小题14分）已知函数.
(1)若，求曲线在处切线的斜率；
(2)求的单调区间；
（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)曲线在处切线的斜率为.
(Ⅱ)函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（Ⅲ）.

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）本试题主要是考查了导数的几何意义的运用。
（2）求解导数，根据导数的符号来求解函数的单调增减区间。
（3）根据已知条件可知转换为函数的最值之间的关系，进而求解得到结论。
解：(Ⅰ)由已知，…………………………（2分）
.故曲线在处切线的斜率为.……………（4分）
(Ⅱ).………………………（5分）
①当时，由于，故，
所以，的单调递增区间为.…………………………（6分）
②当时，由，得.在区间上，，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.…（8分）
（Ⅲ）由已知，转化为.……………………………（9分）
…………………………………………（10分）
由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.)……………（11分）
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，……（13分）
所以解得. ……………………（14分）