Question

（Ⅰ）如图1，A，B，C是平面内的三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，试证明：存在实数λ，使得：．
（Ⅱ）如图2，设G为△ABC的重心，PQ过G点且与AB、AC（或其延长线）分别交于P，Q点，若，，试探究：的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ使得：，变形，可得结论；
（II）连结AG，利用G为△ABC的重心，结合（I）的结论即可得到结论．
解答：（Ⅰ）证明：由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ使得：，…（2分）
即…（4分）
化简为
结论得证．…（6分）
（Ⅱ）解：连结AG，因为G为△ABC的重心，
所以：…（8分）
又因为，
所以…（10分）
由（Ⅰ）知：所以为定值．…（12分）
点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的共线，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．