设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
(Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB的方程;
(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.
分析:(Ⅰ)解法一:设直线AB的方程为y=k(x-1)+3,代入3x
2+y
2=λ,整理得:(k
2+3)x
2-2k(k-3)x+(k-3)
2-λ=0,然后结合题设条件由根与经数的关系和根的判别式能够求出直线AB的方程.
解法二:设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),则有
?3 (x
1-x
2) (x
1+x
2)+(y
1-y
2)=0.∴k
AB=-
.∵N(1,3)是AB的中点∴k
AB=-1.由此能够求出直线AB的方程.
(Ⅱ)解法一:由题意知直线CD的方程为x-y+2=0代入椭圆方程,整理得4x
2+4x+4-λ=0.由弦长公式可得|CD|=
•|x
3-x
4|=
.将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程得4x
2-8x+16-λ=0.同理可得|AB|=
•|x
1-x
2|=
.由此可以推出存在这样的λ,使得A、B、C、D四点在同一个圆上.
解法二:由题高设条件可知λ>12,直线CD的方程为y-3=x-1,代入椭圆方程,整理得4x
2+4x+4-λ=0.将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程整理得4x
2-8x+16-λ=0,由此通过计算知
•
=0,∴A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点,∴A、B、C、D四点共圆.
解答:解:(Ⅰ)解法一:依题意,可设直线AB的方程为y=k(x-1)+3,
代入3x
2+y
2=λ,整理得:(k
2+3)x
2-2k(k-3)x+(k-3)
2-λ=0①
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),则x
1,x
2是方程①的两个不同的根,
∴△=4[λ(k
2+3)-3(k-3)
2]>0,②
且x
1+x
2=
.由N(1,3)是线段AB的中点,得x
1+x
2=2,
∴k(k-3)=k
2+3解得k=-1,代入②得λ>12,
即λ的取值范围是(12,+∞).
于是直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.
解法二:设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),则有
?3 (x
1-x
2) (x
1+x
2)+(y
1-y
2)=0.
依题意,x
1≠x
2,∴k
AB=-
.
∵N(1,3)是AB的中点,∴x
1+x
2=2,y
1+y
2=6,从而k
AB=-1.
又由N(1,3)在椭圆内,∴λ>3×1
2+3
2=12,
∴λ的取值范围是(12,+∞).
直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.
(Ⅱ)解法一:∵CD垂直平分AB,
∴直线CD的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0代入椭圆方程,整理得4x
2+4x+4-λ=0.③
又设C(x
3,y
3),D(x
4,y
4),CD的中点为M(x
0,y
0),
则x
3,x
4是方程③的两根,
∴x
3+x
4=-1,且x
0=
=-
,y
0=x
0+2=
,即M(
-,
)
于是由弦长公式可得|CD|=
•|x
3-x
4|=
.④
将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程得4x
2-8x+16-λ=0.⑤
同理可得|AB|=
•|x
1-x
2|=
.⑥
∵当λ>12时,
>
,
∴|AB|<|CD|.
假设存在λ>12,使得A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心.
点M到直线AB的距离为d=
=
=
.⑦
于是,由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|
2=|MB|
2=d
2+
||2=
+
=
=
||2.
故当λ>12时,A、B、C、D四点均在以M为圆心,|
|为半径的圆上.
(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:
A、B、C、D共圆?ACD为直角三角形,A为直角?|AN|
2=|CN|•|DN|,
即
()2=(|
|+d)(|
|-d).⑧
由⑥式知,⑧式左边=
,
由④⑦知,⑧式右边=(
+
)(
-
)=
-
=
.
∴⑧式成立,即A、B、C、D四点共圆.)
解法二:由(Ⅱ)解法一知λ>12,
∵CD垂直平分AB,
∴直线CD的方程为y-3=x-1,代入椭圆方程,整理得4x
2+4x+4-λ=0.③
将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程整理得4x
2-8x+16-λ=0.⑤
解③和⑤式可得x
1,2=
,x
3,4=
,
不妨设A(1+
,3-
),
C(
,
),D(
,
).
∴
=(
,
),
=(
,
),
计算可得
•
=0,
∴A在以CD为直径的圆上.
又B为A关于CD的对称点,
∴A、B、C、D四点共圆.
点评:本题综合考查直线和椭圆的位置关系,难度较大,解题时要仔细审题,注意公式的灵活运用.