Question

函数y=f（x）的定义域为（-∞，+∞），且具有以下性质：①f（-x）-f（x）=0；②f（x+2）•f（x）=1；③y=f（x）在[0，2]上为单调增函数，则对于下述命题：
（1）y=f（x）的图象关于原点对称
（2）y=f（x）为周期函数且最小正周期是4
（3）y=f（x）在区间[2，4]上是减函数
正确命题的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：由①得f（x）为偶函数，即函数图象关于y轴对称故（1）错；由②求出函数的最小正周期为4，故（2）对；再结合③判断出（3）对．

解答：解：由题意知f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数，即函数图象关于y轴对称．
由②得：f（x+2）=

1

f(x)

，∴f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），则f（x）为周期函数且T=4．
∵y=f（x）在[0，2]递增，∴f（x）在[-2，0]递减，
∵f（x）为周期函数且T=4，∴f（x）在[2，4]递减，
由此可知（2）（3）正确，（1）不正确．
故选C．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性、单调性和周期性的综合运用，考查了学生对函数性质的运用能力和对式子的变形能力．