Question

【题目】随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p（0＜p＜1），需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A．若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．
（1）若 ，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；
（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案： 方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设X为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，

所求的概率为 ，

所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为

（2）解：设q=1﹣p，则0＜q＜1．

方案一：设所需化验的次数为Y，则Y的所有可能取值为2，4，6次， ， ．

方案二：设所需化验的次数为Z，则Z的所有可能取值为1，5次，P（Z=1）=q4，P（Z=5）=1﹣q4，E（Z）=1×q4+5×（1﹣q4）=5﹣4q4．

因为E（Y）﹣E（Z）=6﹣4q2﹣（5﹣4q4）=（2q2﹣1）2≥0，即E（Y）≥E（Z），

所以方案二更适合

【解析】（1）设X为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，利用相互对立事件的概率计算公式可得所求的概率为P（X≥1）=1﹣P（X=0）．（2）设q=1﹣p，则0＜q＜1．方案一：设所需化验的次数为Y，则Y的所有可能取值为2，4，6次，利用二项分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出．方案二：设所需化验的次数为Z，则Z的所有可能取值为1，5次，P（Z=1）=q4 ， P（Z=5）=1﹣q4 ， E（Z）=1×q4+5×（1﹣q4）．进而得出数学期望．